§5.4 定积分的换元法
一、换元公式
【定理】若
1、函数在上连续；
2、函数在区间上单值且具有连续导数；
3、当在上变化时，的值在上变化，且
，
则有
(1)
证明：
(1)式中的被积函数在其积分区间上均是连续， 故(1)式两端的定积分存在。且(1)式两端的被积函数的原函数均是存在的。
假设是在上的一个原函数，据牛顿—莱布尼兹公式有
另一方面， 函数的导数为
这表明： 函数是在上的一个原函数， 故有：
从而有
对这一定理给出几点注解：
1、用替换，将原来变量代换成新变量后，原定积分的限应同时换成新变量的限。
求出的原函数后，不必象不定积分那样，将变换成原变量的函数，只需将新变量的上下限代入中然后相减即可。
2、应注意代换的条件，避免出错。
(1)、在单值且连续；
(2)、
3、对于时， 换元公式(1)仍然成立。
【例1】求
【解法一】 令
当时，；当时，。
又当 时，有
且变换函数 在上单值，在上连续，
由换元公式有
【解法二】令
当时， ； 当时， 。
又当时， ，
且变换函数在上单值， 在上连续，
由换元公式有
注意：
在【解法二】中，经过换元，定积分的下限较上限大。
换元公式也可以反过来， 即
【例2】求
解：设，
当 时，；当 时，
一般来说，这类换元可以不明显地写出新变量，自然也就不必改变定积分的上下限。
二、常用的变量替换技术与几个常用的结论
【例3】证明
1、若在上连续且为偶函数，则
2、若在上连续且为奇函数，则
证明：由定积分对区间的可加性有
对 作替换 得
故有
若为偶函数， 则
若为奇函数， 则
【例4】若在上连续， 证明：
1、
2、
并由此式计算定积分
1、证明：设 ，
2、证明： 设 ，
【例5】求
解：令 ，
故
评注：
这一定积分的计算并未求原函数，只用到了变量替换、定积分性质，这一解法值得我们学习。